힐베르트의 영점 정리(Nullstellensatz)는 준동형사상의 확장 정리를 유한생성환에 적용한 정리이다. 먼저 몇 개의 보조정리를 도입한 후 영점 정리를 증명하자.
정리 1. \(k\)가 체이고 \(k[x] = k[x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ]\)이 \(k\) 위에서의 유한생성환이라고 하자. 또한 \(\varphi : k \,\to\,L\)이 \(k\)로부터 대수적으로 닫힌 체 \(L\)로의 매장함수라고 하자. 그러면 \(\varphi\)를 확장하여 \(k[x]\)로부터 \(L\)로의 일대일인 준동형사상을 만들 수 있다.
증명
\(\mathfrak{M}\)이 \(k\)의 극대아이디얼이고, \(\sigma\)가 \(k[x]\)로부터 \(k[x]/\mathfrak{M}\)으로의 표준준동형사상이라고 하자. 그러면 \(\sigma k[\sigma x_1 ,\, \cdots ,\, \sigma x_n ]\)은 \(\sigma k\)의 확대체이다. 만약 유한생성환이 체일 때 정리의 진술을 증명할 수 있다면 \(\varphi \circ \sigma^{-1}\)를 \(\sigma k\)에 적용하고 \(\sigma k [ \sigma x_1 ,\, \cdots ,\, \sigma x_n ]\)으로부터 \(L\)로의 일대일인 준동형사상으로 확장함으로써 원하는 결과를 얻을 수 있다.
일반성을 잃지 않고 \(k[x]\)가 체라고 하자. 이 체가 \(k\) 위에서 대수적이라면 \(k[x]\)는 대수적 확대체이므로 더 이상 증명할 것이 없다. 그러므로 \(k[x]\)가 \(k\) 위에서 대수적인지 않은 경우를 증명하자. \(t_1 ,\) \(\cdots ,\) \(t_r\)가 \(k[x]\)의 초월기저이고 \(r\ge 1\)이라고 하자. \(\varphi\)가 \(k\) 위에서 항등함수라고 해도 일반성을 잃지 않는다. 각 원소 \(x_1 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)은 \(k(t_1 ,\, \cdots ,\, t_r )\) 위에서 대수적이다. 기약다항식 \(\operatorname{Irr}(x_i ,\, k(t) ,\, X)\)에 \(k[t]\)의 \(0\)이 아닌 적당한 원소를 곱하여 계수가 모두 \(k[t]\)에 속하는 다항식을 얻을 수 있다. 이러한 다항식들의 최고차항의 계수를 \(a_1 (t) ,\) \(\cdots ,\) \(a_n (t)\)라고 하고, 이 계수들의 곱을 \[a(t) = a_1 (t) \cdots a_n (t)\] 라고 하자. \(a(t) \ne 0\)이므로 \(t_1 ',\) \(\cdots,\) \(t_r ' \in k^{\mathrm{a}}\)가 존재하여 \(a(t ' ) \ne 0\)이고, 각 \(i\)에 대하여 \(a_i (t ' ) \ne 0\)이다. 각 \(x_i\)은 환 \[k\left[ t_1 ,\, \cdots ,\,t_r ,\, \frac{1}{a_1 (t)} ,\, \cdots ,\, \frac{1}{a_r (t)} \right]\] 위에서 정수적 원소(integral element)이다. \(\varphi (t_j ) = t_j '\)을 만족시키고 \(k\) 위에서 항등함수인 준동형사상 \[\varphi : k [ t_1 ,\, \cdots ,\, t_r ] \,\to\, k^{\mathrm{a}}\] 을 생각하자. \(\varphi\)의 핵을 \(p\)라고 하자. 그러면 \(a(t) \notin p\)이다. 준동형사상 \(\varphi\)는 국소환 \(k[t]_p\)로 확장되며, 확장함수는 유일하게 결정된다. 그러므로 \(\varphi\)는 \[k[t]_p [x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ]\] 으로부터 \(k^{\mathrm{a}}\)으로의 일대일인 준동형사상으로 확장된다.
따름정리 1. \(k\)가 체이고 \(k[x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ]\)이 \(k\) 위에서의 유한생성환이라고 하자. 만약 \(k[x]\)가 체이면 \(k[x]\)는 \(k\) 위에서 대수적이다.
증명
체의 준동형사상은 모두 그 상으로의 동형사상이며 \(k\) 위에서의 체 \(k[x]\)로부터 \(k\)의 대수적 폐포로의 일대일인 준동형사상이 존재한다.
따름정리 2. \(k[x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ]\)이 \(k\) 위에서의 유한생성환이고 이 환에서 \(0 \ne 1\)이며 \(y_1 ,\) \(\cdots ,\) \(y_m\)이 이 환의 \(0\)이 아닌 원소라고 하자. 그러면 \(k\) 위에서의 준동형사상 \[\psi : k [x] \,\to\,k^{\mathrm{a}}\] 이 존재하여 임의의 \(j=1 ,\, \cdots ,\, m\)에 대하여 \(\psi ( y_j ) \ne 0\)을 만족시킨다.
증명
환 \[k[x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ,\, y_1^{-1} ,\, \cdots ,\, y_m^{-1}]\]에 정리 1을 적용하면 바라는 결론을 얻는다.
정리 2. \(\mathfrak{a}\)가 \(k[x] = k[X_1 ,\, \cdots ,\, X_n ]\)의 아이디얼이라고 하자. 그러면 \(\mathfrak{a} = k[X]\)이거나 또는 \(\mathfrak{a}\)는 \(k^{\mathrm{a}}\)에서 영점을 가진다.
증명
\(\mathfrak{a} \ne k[X]\)라고 하자. 그러면 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 극대아이디얼 \(\mathfrak{m}\)이 존재한다. \(k[X] / \mathfrak{m}\)은 \(k\)로부터 유한생성된 체이다. 즉 \(k[X] / \mathfrak{m}\)은 법 \(\mathfrak{m}\)에 대하여 \[X_1 ,\, \cdots ,\, X_n\] 의 상에 의해 생성된 체이다. 이 체는 \(k\) 위에서 대수적이며 대수적 폐포 \(k^{\mathrm{a}}\)의 부분과 동형이다. 법 \(\mathfrak{m}\)에 대하여 표준준동형사상들을 합성하면 \(k[X]\) 위에서의 준동형사상을 얻으며, 이 준동형사상에 의해 얻어지는 동형부분공간에 \(\mathfrak{a}\)의 영점이 존재한다.
정리 2에 의하면 다항식들이 하나의 체 위에서 공통영점을 가지면 소체 위에서 이들 다항식들의 계수에 의해 생성된 체의 대수적 폐포에 공통영점이 존재한다.
정리 3. (힐베르트의 영점 정리)
\(\mathfrak{a}\)가 \(k[X]\)의 아이디얼이라고 하자. 또한 \(f\)가 \(k[X]\)의 다항식이고 \(k^{\mathrm{a}}\)에서 \(\mathfrak{a}\)의 모든 영점 \((c) = (c_1 ,\, \cdots ,\, c_n )\)에 대하여 \(f(c)=0\)이라고 하자. 그러면 \(f^{m} \in \mathfrak{a}\)인 자연수 \(m\)이 존재한다.
증명
\(f \ne 0\)인 경우만 증명해도 충분하다. 라이니치의 방법을 이용하여 새로운 변수 \(Y\)를 도입하고, 아이디얼 \(\mathfrak{a} ' \)을 \(k[X,\,Y]\)에서 \(\mathfrak{a}\)와 \(1-Yf\)에 의하여 생성된 것이라고 하자. 정리의 가정과 정리 2에 의하여 아이디얼 \(\mathfrak{a} ' \)은 다항식환 \(k[X,\,Y]\) 전체와 같으므로 다항식 \(g_i \in k[X,\,Y]\)와 \(h_i \in \mathfrak{a}\)가 존재하여 \[1= g_0 (1-Yf) + g_1 h_1 + \cdots + g_r h_r\] 를 만족시킨다. 위 등식에서 \(Y\)를 \(f^{-1}\)로 바꾸고 \(f\)의 적당한 거듭제곱 \(f^{m}\)을 양변에 곱하여 우변의 분모를 약분하면 바라는 결론을 얻는다.