거듭제곱급수를 공부할 때 중점적으로 살펴보아야 할 내용은 다음과 같은 세 가지이다.
- 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n \)이 수렴하도록 하는 \(x\)의 값(범위)을 어떻게 구할 것인가?
- 거듭제곱급수로 정의된 함수를 미분하거나 적분할 땐 어떻게 하는가?
- 어떠한 함수를 거듭제곱급수로 나타낼 수 있는가?
이 중 세 번째 질문에 대한 답이 바로 테일러 급수와 테일러의 정리이다. 테일러 급수는 주어진 함수 \(f\)를 거듭제곱급수로 나타내는 방법을 제공한다. 즉 함수 \(f\)가 주어졌을 때 이 함수로부터 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n\)을 구하는 방법을 제공한다. 그러나 테일러 급수를 구했다고 해서 그 급수가 원래의 함수와 일치한다는 것은 보장할 수 없다. 이때 테일러 급수가 원래의 함수로 수렴하는지 여부를 밝히는 방법이 테일러의 정리이다.
이 포스트에서는 테일러의 급수와 테일러의 정리를 살펴보고, 테일러 급수로 나타낼 수 있는 함수의 예를 함께 살펴보자. 즉 이 포스트에서는 다음과 같은 두 가지 질문에 대한 답을 살펴본다.
- 함수 \(f\)가 거듭제곱급수로 표현될 수 있다면, 그 거듭제곱급수를 어떻게 구할 것인가?
- 구한 거듭제곱급수가 \(f\)와 일치한다는 것을 어떻게 보일 것인가?
표기의 편의상 이 포스트에서 테일러 급수의 중심은 \(c\)가 아닌 \(a\)로 나타내기로 한다.
내용 순서
미리 알아야 할 내용
테일러 급수
함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간 \((a-R ,\, a+R )\)에서 정의되어 있고, 이 구간에서 중심이 \(a\)인 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-a)^n\)으로 나타낼 수 있다고 가정하자. 이 거듭제곱급수를 어떻게 구할까?
거듭제곱급수는 마치 거대한 다항식처럼 생겼다. 어떠한 관점에서는 거듭제곱급수는 차수가 무한대인 다항식처럼 여길 수도 있다. 그런데 다항식을 구한다는 것은 다항식의 상수와 모든 차수의 항의 계수를 구하는 것을 뜻한다. 마찬가지로 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-a)^n\)을 구한다는 것은 \(0\) 이상의 모든 정수 \(k\)에 대하여 \(a_k\)를 구하는 것을 뜻한다.
\(f\)가 다음과 같이 거듭제곱급수로 표현된다고 하자. \[f(x) = a_0 + a_1 (x-a)^1 + a_2 (x-a)^2 + a_3 (x-a)^3 + \cdots + a_n (x-a)^n + \cdots .\tag{1.1}\] 이 식에 \(x=a\)를 대입하면 \(f(a) = a_0\)을 얻는다. (1.1)의 양변을 미분하면 \[f ' (x) = a_1 + 2a_2 (x-a) + 3a_3 (x-a)^2 + \cdots + na_n (x-a)^{n-1} + \cdots\tag{1.2}\] 이며, 이 식에 \(x=a\)를 대입하면 \(f ' (a) = a_1\)을 얻는다. (1.2)의 양변을 다시 미분하면 \[f ' ' (x) = 2a_2 + 2\cdot 3a_3 (x-a) + \cdots + (n-1)n (x-a)^{n-2} + \cdots\tag{1.3}\] 이며, 이 식에 \(x=a\)를 대입하면 \(f ' ' (a) = 2a_2\) 즉 \[a_2 = \frac{f ' ' (a)}{2}\] 를 얻는다. 이 과정을 반복하여, (1.1)을 \(n\)번 미분하면 \[f ^{(n)} (x) = n! a_n + (x-a)Q(x) \tag{1.4}\] 꼴이 되며, 이 식에 \(x=a\)를 대입하면 \(f^{(n)}(a) = n! a_n\) 즉 \[a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \tag{1.5}\] 를 얻는다. 만약 \(f^{(0)} = f\)라고 한다면 \(0\) 이상인 모든 정수 \(n\)에 대하여 (1.5)가 성립한다. 따라서 다음과 같이 정의한다.
정의 1. (테일러 급수)
\(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 임의 횟수로 미분 가능하다고 하자. 이때 \(a\)에서 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수(Taylor series)를 다음과 같이 정의한다. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.\tag{1.6}\] 특히 중심이 \(0\)인 테일러 급수를 맥클라린 급수(Maclaurin series)라고 부른다.
보통 별다른 언급 없이 테일러 급수를 구하라고 하면 중심이 \(0\)인 테일러 급수, 즉 맥클라린 급수를 구하라는 뜻으로 받아들이면 된다. 이제 우리가 익숙하게 사용했던 함수들의 테일러 급수를 구해 보자.
보기 1. (자연지수함수의 테일러 급수)
지수함수 \(f(x) = e^x\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해 보자. 먼저 \(a_0 = f(0) = 1\)이며, 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f^{(n)}(x) = e^x\)이므로 \[a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{e^0}{n!} = \frac{1}{n!}\] 이다. 그러므로 구하는 테일러 급수는 \[e^x \,\sim\, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\tag{1.7}\] 이다. 이 거듭제곱급수는 임의의 \(x\)에 대하여 수렴한다.
주의할 점은 보기 1에서 구한 테일러 급수 (1.7)이 임의의 \(x\)에 대하여 수렴하기는 하지만, 그 극한이 \(e^x\)와 같다는 것은 보장할 수 없다는 것이다. 즉 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 수렴하는 것과 테일러 급수가 \(f\)의 함숫값에 수렴하는 것은 다른 문제이다. 이러한 이유 때문에 (1.7)에서 등호를 사용하지 않고 물결표시를 사용하였다.
테일러 급수가 원래의 함수에 수렴하는지 여부를 밝히는 방법은 이 포스트의 뒷부분에서 테일러 정리를 통해 밝힐 것이다.
보기 2. (사인의 테일러 급수) 사인 함수 \(f(x) = \sin x\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해 보자. \(f\)의 도함수와 \(0\)에서의 미분계수를 구하면 \[\begin{align} f(x) &= \sin x &\quad f(0) &= 0 \\[6pt] f ' (x) &= \cos x &\quad f ' (0) &= 1 \\[6pt] f ' ' (x) &= - \sin x &\quad f ' ' (0) &= 0 \\[6pt] f^{(3)} (x) &= -\cos x &\quad f ^{(3)} (0) &= -1 \\[6pt] f^{(4)} (x) &= \sin x &\quad f^{(4)} (0) &= 0 \\[6pt] f^{(5)} (x) &= \cos x &\quad f^{(5)} (0) &= 1 \\[6pt] &\,\,\,\vdots &\quad &\,\,\,\vdots \end{align}\] 이며, 이것은 \(f^{(n+4)} = f^{(n)}\)으로서 반복된다. 그러므로 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수의 계수는 \[\begin{gather} a_0 = a_2 = a_4 = a_6 = \cdots = 0, \\[6pt] 1! a_1 = 5! a_5 = 9! a_9 = 13! a_{13} = \cdots = 1, \\[6pt] 3! a_3 = 7! a_7 = 11! a_{11} = 15! a_{15} = \cdots = -1 \end{gather}\] 이며, 테일러 급수는 \[\sin x \,\sim\, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + - \cdots \tag{1.8}\] 이다. 이 거듭제곱급수는 임의의 \(x\)에 대하여 수렴한다.
보기 3. (코사인의 테일러 급수) 코사인 함수 \(f(x) = \cos x\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해 보자. \(f\)의 도함수와 \(0\)에서의 미분계수를 구하면 \[\begin{align} f (x) &= \cos x &\quad f (0) &= 1 \\[6pt] f ' (x) &= - \sin x &\quad f ' (0) &= 0 \\[6pt] f^{(2)} (x) &= -\cos x &\quad f ^{(2)} (0) &= -1 \\[6pt] f^{(3)} (x) &= \sin x &\quad f^{(3)} (0) &= 0 \\[6pt] f^{(4)} (x) &= \cos x &\quad f^{(4)} (0) &= 1 \\[6pt] f^{(5)} (x) &= -\sin x &\quad f^{(5)} (0) &= 0 \\[6pt] &\,\,\,\vdots &\quad &\,\,\,\vdots \end{align}\] 이며, 이것은 \(f^{(n+4)} = f^{(n)}\)으로서 반복된다. 그러므로 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수의 계수는 \[\begin{gather} a_1 = a_3 = a_5 = a_7 = \cdots = 0, \\[6pt] 2! a_2 = 6! a_6 = 10! a_{10} = 14! a_{14} = \cdots = -1, \\[6pt] a_0 = 4! a_4 = 8! a_8 = 12! a_{12} = 16! a_{16} = \cdots = 1 \end{gather}\] 이며, 테일러 급수는 \[\cos x \,\sim\, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + - \cdots \tag{1.9}\] 이다. 이 거듭제곱급수는 임의의 \(x\)에 대하여 수렴한다.
보기 4. (자연로그의 테일러 급수) 자연로그 함수 \(f(x) = \ln (1+x)\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해 보자. \(f\)의 도함수와 \(0\)에서의 미분계수를 구하면 \[\begin{align} f (x) &= \ln (1+x) &\quad f (0) &= 0 \\[6pt] f ' (x) &= (1+x)^{-1} &\quad f ' (0) &= 1 \\[6pt] f^{(2)} (x) &= -(1+x)^{-2} &\quad f ^{(2)} (0) &= -1 \\[6pt] f^{(3)} (x) &= 2(1+x)^{-3} &\quad f^{(3)} (0) &= 2 \\[6pt] f^{(4)} (x) &= - 3! (1+x)^{-4} &\quad f^{(4)} (0) &= -3! \\[6pt] f^{(5)} (x) &= 4! (1+x)^{-5} &\quad f^{(5)} (0) &= 4! \\[6pt] &\,\,\,\vdots &\quad &\,\,\,\vdots \end{align}\] 이다. 그러므로 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \[\ln(1+x) \,\sim\, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + - \cdots\tag{1.10}\] 이다. 이 거듭제곱급수는 \(-1 < x \le 1\)일 때 수렴한다.
테일러 급수의 유일성
\(a=2\)에서 분수함수 \(f(x) = 1/x\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해보자. \[f(x) = x^{-1} ,\,\, f ' (x) = -x^{-2} ,\,\, f ' ' (x) = 2! x^{-3} ,\,\, \cdots\] 이고 일반적으로 \[f^{(n)} (x) = (-1)^n n! x^{-(n+1)}\] 이므로 \[\begin{align} a_0 &= f(2) = \frac{1}{2} ,\\[4pt] a_1 &= f ' (2) = - \frac{1}{2^2} ,\\[4pt] a_2 &= \frac{f ' ' (2)}{2!} = \frac{1}{2^3} , \\[4pt] &\,\,\,\vdots\\[4pt] a_n &= \frac{f^{(n)}(2)}{n!} = \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \end{align}\] 이다. 그러므로 \(2\)에서 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \[\frac{1}{2} - \frac{x-2}{2^2} + \frac{(x-2)^2}{2^3} - \frac{(x-2)^3}{2^4} + - \cdots\tag{2.1}\] 이다. 이 거듭제곱급수는 \(0 < x < 4\)일 때 수렴한다.
이번에는 다른 방법으로 \(2\)에서 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해보자. 분수식 \(1/x\)을 변형하고 무한등비급수(기하급수)의 합 공식을 이용하면 \(\lvert x-2 \rvert < 2\)일 때 \[\begin{align} \frac{1}{x} &= \frac{1}{2+(x-2)} \\[4pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x-2}{2}} \\[2pt] &= \frac{1}{2} \left\{ 1 - \frac{x-2}{2} + \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(x-2)^3}{2^3} + - \cdots \right\} \\[2pt] &= \frac{1}{2} - \frac{x-2}{2^2} + \frac{(x-2)^2}{2^3} - \frac{(x-2)^3}{2^4} + - \cdots \tag{2.2} \end{align}\] 이므로 (2.1)에서 구한 거듭제곱급수와 동일하다.
그렇다면 점 \(a\)와 함수 \(f\)가 고정되어 있을 때, \(a\)에서 \(f\)에 의하여 생성되는 테일러 급수는 구하는 방법과는 상관 없이 항상 동일하게 나올까?
정리 1. (테일러 급수의 유일성)
함수 \(f\)가 점 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 거듭제곱급수로 표현된다고 하자. 그러면 그 거듭제곱급수는 유일하게 결정된다. 즉 \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n\tag{2.3}\] 이고 \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-a)^n\tag{2.4}\] 이면, \(0\) 이상인 임의의 정수 \(n\)에 대하여 \(a_n = b_n\)이다.
증명
먼저 (2.3)과 (2.4)에 \(x=a\)를 대입하면 \(a_0 = f(a) = b_0\)이다.
다음으로 \(n\)이 자연수일 때, (2.3)의 양변을 \(n\)번 미분한 후 \(x=a\)를 대입하면 \[f^{(n)}(a) = n! \,a_n\tag{2.5}\] 이며, (2.4)의 양변을 \(n\)번 미분한 후 \(x=a\)를 대입하면 \[f^{(n)}(a) = n! \,b_n\tag{2.6}\] 이다. 그러므로 (2.5)와 (2.6)을 연립하면 \(a_n = b_n\)을 얻는다.
그러므로 주어진 함수의 거듭제곱급수 표현을 구할 때에는 반드시 (1.6)의 공식을 이용하지 않더라도 이미 알고 있는 거듭제곱급수를 이용하면 같은 결과를 얻어낼 수 있다.
테일러 급수의 수렴성
우리는 두 가지 질문 중 첫 번째 질문의 답을 살펴보았다. 즉 함수 \(f\)의 거듭제곱급수 표현을 구하는 방법으로서 테일러 급수를 살펴보았다. 이제 두 번째 질문의 답을 살펴보자. 즉 \(f\)의 테일러 급수를 구했을 때 그 급수가 \(f\)에 수렴함을 증명하는 방법을 살펴보자.
정리 2. (테일러의 정리)
\(n\)이 자연수이고 \(a\)와 \(x\)가 서로 다른 수이며, \(I\)가 \(a\)와 \(x\)를 모두 원소로 갖는 열린 구간이라고 하자. 그리고 함수 \(f\)가 \(I\)에서 \((n+1)\)번 이상 미분 가능하다고 하자. 그러면 \(a\)와 \(x\) 사이에 점 \(c\)가 존재하여 \[f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} \tag{3.1}\] 을 만족시킨다.
증명
(미적분학을 처음 공부하는 사람은 이 증명을 생략해도 좋다.)
\(a < x\)인 경우만 증명해도 충분하다. 왜냐하면 \(x > a\)인 경우의 증명도 유사하기 때문이다. \(t\in I\)에 대하여 \[\begin{align} F(t) &:= \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} ,\tag{3.2}\\[2pt] G(t) &:= f(x) - f(t) - \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k \tag{3.3} \end{align}\] 이라고 하자. 이제 \(a\)와 \(x\) 사이에 점 \(c\)가 존재하여 \[G(a) = F(a) f^{(n+1)}(c) \tag{3.4}\] 를 만족시킴을 보여야 한다. 코시의 평균값 정리를 이용하자. 각 \(t\in I\)와 자연수 \(k\)에 대하여 \[\frac{d}{dt} \left( \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k \right) = \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^k - \frac{f^{(k)} (t)}{(k-1)!} (x-t)^{k-1}\] 이므로 이 식과 (3.2)를 결합하면 \[G ' (t) = - \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x-t)^n\] 을 얻는다. 또한 (3.2)의 \(F\)를 미분하면 \[F ' (t) = - \frac{(x-t)^n}{n!} ,\,\, t\in I\] 를 얻는다. 이로써 \(F\)와 \(G\)는 열린 구간 \((a,\,x)\)에서 미분 가능하고 닫힌 구간 \([a,\,x]\)에서 연속이며, \(t\ne x\)일 때 \[\frac{G ' (t)}{F ' (t)} = f^{(n+1)}(t) \tag{3.5}\] 를 만족시킨다. 따라서 코시의 평균값 정리에 의하여 \(a\)와 \(x\) 사이에 점 \(c\)가 존재하여 \[(F(x) - F(a)) G ' (c) = (G(x) - G(a)) F ' (C) \tag{3.6}\] 를 만족시킨다. \(F(x) = G(x) =0\)이고 \(x\ne c\)이므로 \[-F(a) G ' (c) = -F (a) F ' (c)\] 즉 \[G(a) = F(a) \frac{G ' (c)}{F ' (c)}\] 가 성립한다. 이 식을 (3.5)와 결합하면 (3.4)를 얻는다.
참고. 정리 2에서 \(c\)는 \(n\)의 값에 따라 변하는 값이다. 이 때문에 책에 따라서는 정리 2를 기술할 때 \(c\)를 \(c_n\)으로 표시하기도 한다.
함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간 \(I = (a-R ,\, a+R)\)에서 임의 횟수로 미분 가능하고 \(a\)에서 \(f\)에 의하여 생성된 \(n\)차 테일러 다항식을 \(P_n (x)\)라고 하자. 이때 \[R_n (x) = f(x) - P_n (x) ,\,\, x\in I\] 로 정의된 식 \(R_n\)을 \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식의 나머지식(remainder)이라고 부른다. 만약 임의의 \(x\in I\)에 대하여 \[\lim _ {n\to\infty} R_n (x) =0\tag{3.7}\] 이라면 \[\lim _ {n\to\infty} (f(x) - P_n (x)) =0\] 이므로, \(a\)에서 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \(I\)에서 \(f\)와 일치한다. 즉 임의의 \(x\in I\)에 대하여 (3.7)이 성립하는 것은 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 \(I\)에서 \(f\)와 일치할 필요충분조건이다. 그런데 정리 2를 이용하면 \(x \ne a\)일 때 \(a\)와 \(x\) 사이에 점 \(c\)가 존재하여 \[R_n (x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\tag{3.8}\] 을 만족시킨다. 이 식을 활용하는 예를 살펴보자.
보기 5. (자연지수함수의 테일러 급수의 수렴성)
자연지수함수 \(f(x) = e^x\)에 의하여 생성된 테일러 급수 (1.7)이 자연지수함수에 수렴함을 보이자. \(x=0\)인 경우 (1.7)의 좌변와 우변이 일치한다. 그러므로 \(x \ne 0\)인 경우만 살펴보면 된다. \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식의 나머지항을 \(R_n (x)\)라고 하자. 그러면 테일러의 정리에 의하여 \[R_n (x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1}\] 인 점 \(c\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \[\lvert f^{(n+1)}(c) \rvert = \lvert e^c \rvert \le e^{\lvert c \rvert} \le e^{\lvert x \rvert}\] 이므로 \[\lvert R_n (x) \rvert \le \frac{e^{\lvert x \rvert} \lvert x \rvert ^{n+1}}{(n+1)!}\] 이다. 부등식의 우변에 극한을 취하면 \[\lim_{n\to\infty} \frac{e^{\lvert x \rvert} \lvert x \rvert ^{n+1}}{(n+1)!} = 0\] 이므로 \[\lim_{n\to\infty} R_n (x) =0\] 이다. 여기서 \(x\)는 \(0\)이 아닌 임의의 실수이므로, 결국 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \(f\)에 수렴한다. 즉 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\tag{3.9}\] 이다.
보기 6. (사인 함수의 테일러 급수의 수렴성)
사인 함수 \(f(x) = \sin x\)에 의하여 생성된 테일러 급수 (1.8)이 사인 함수에 수렴함을 보이자. \(x=0\)인 경우 (1.8)의 좌변과 우변이 일치한다. 그러므로 \(x\ne 0\)인 경우만 살펴보면 된다. \(f\)의 \((2n+1)\)차 테일러 다항식의 나머지항을 \(R_{2n+1} (x)\)라고 하자. (1.8)의 우변에 차수가 홀수인 항만 존재하므로 \(R_n\) 대신 \(R_{2n+1}\)을 사용한다. 그러면 테일러의 정리에 의하여 \[R_{2n+1} (x) = \frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!} x^{2n+2}\] 인 점 \(c\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 임의의 \(n\)에 대하여 \(\sin x\)의 \(n\)계도함수의 절댓값은 \(1\)을 넘지 않으므로 \[\lvert R_{2n+1} (x) \rvert \le \frac{1}{ (2n+2)! } \lvert x \rvert^{2n+2}\] 이다. 부등식의 우변에 극한을 취하면 \[\lim_{n\to\infty} \frac{1}{ (2n+2)! } \lvert x \rvert^{2n+2} = 0\] 이므로 \[\lim_{n\to\infty} R_{2n+1} (x) =0\] 이다. 여기서 \(x\)는 \(0\)이 아닌 임의의 실수이므로, 결국 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \(f\)에 수렴한다. 즉 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + - \cdots \tag{3.10}\] 이다.
보기 7. (코사인 함수의 테일러 급수의 수렴성)
사인 함수 \(f(x) = \cos x\)에 의하여 생성된 테일러 급수 (1.9)가 코사인 함수에 수렴함을 보이자. \(x=0\)인 경우 (1.9)의 좌변과 우변이 일치한다. 그러므로 \(x\ne 0\)인 경우만 살펴보면 된다. \(f\)의 \(2n\)차 테일러 다항식의 나머지항을 \(R_{2n} (x)\)라고 하자. (1.9)의 우변에 차수가 짝수인 항만 존재하므로 \(R_n\) 대신 \(R_{2n}\)을 사용한다. 그러면 테일러의 정리에 의하여 \[R_{2n} (x) = \frac{f^{(2n+1)}(c)}{(2n+1)!} x^{2n+1}\] 인 점 \(c\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 임의의 \(n\)에 대하여 \(\cos x\)의 \(n\)계도함수의 절댓값은 \(1\)을 넘지 않으므로 \[\lvert R_{2n} (x) \rvert \le \frac{1}{ (2n+1)! } \lvert x \rvert^{2n+1}\] 이다. 부등식의 우변에 극한을 취하면 \[\lim_{n\to\infty} \frac{1}{ (2n+1)! } \lvert x \rvert^{2n+1} = 0\] 이므로 \[\lim_{n\to\infty} R_{2n} (x) =0\] 이다. 여기서 \(x\)는 \(0\)이 아닌 임의의 실수이므로, 결국 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \(f\)에 수렴한다. 즉 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + - \cdots \tag{3.11}\] 이다.
보기 8. (자연로그의 테일러 급수의 수렴성)
자연로그 함수 \(f(x) = \ln (1+x)\)에 의하여 생성된 테일러 급수 (1.10)이 \(0 \le x \le 1\)일 때 자연로그 함수에 수렴함을 보이자. \(x=0\)인 경우 (1.10)의 좌변과 우변이 일치한다. 그러므로 \(x > 0\)인 경우만 살펴보면 된다. \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식의 나머지항을 \(R_{n} (x)\)라고 하자. 그러면 테일러의 정리에 의하여 \[R_{n} (x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1}\] 인 점 \(c\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(f^{(n+1)} (c) = n! / (1+c)^{n+1}\)이므로 \[\lvert R_{n} (x) \rvert = \frac{\lvert x \rvert^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \left\lvert \frac{x}{1+c} \right\rvert ^{n+1}\tag{3.12}\] 이다. \(\lvert x / (1+c) \rvert \le 1\)이므로 \[\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} \left\lvert \frac{x}{1+c} \right\rvert = 0\tag{3.13}\] 이다. 따라서 \[\lim_{n\to\infty} R_n (x) =0\] 이다. 여기서 \(x\)는 \(0\)보다 큰 임의의 실수이므로, 결국 \(0 \le x \le 1\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \(f\)에 수렴한다. 즉 \(0 \le x \le 1\)일 때 \[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + - \cdots\tag{3.14}\] 이다.
자연로그함수의 테일러 급수 (3.14)는 \(-1 < x \le 1\)일 때 수렴한다. 그러나 보기 8에서는 \(x \ge 0\)일 때 (3.14)의 테일러 급수가 \(\ln (1+x)\)에 수렴함을 보였다. 그렇다면 \(-1 < x < 0\)일 때에도 (3.14)의 테일러 급수가 \(\ln (1+x)\)에 수렴할까? 이것은 정리 2를 이용하여 밝힐 수 없다. 왜냐하면 \(-1 < x < c < 0\)일 때 (3.13)의 극한이 \(0\)에 수렴한다는 것을 보장할 수 없기 때문이다. 대신 거듭제곱급수의 성질을 이용하여 이것을 밝힐 수 있다. \(\lvert x \rvert < 1\)일 때 무한등비급수의 합 공식을 이용하면 \[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + - \cdots\tag{3.15}\] 이다. \(-1 < x < 1\)의 범위에서 위 등식의 양변의 부정적분을 구하면 \[\ln (1+x) = C+ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + - \cdots\] 이다. 여기서 \(C\)는 상수이다. 이 식의 양변에 \(x=0\)을 대입하면 \(C=0\)을 얻는다. 따라서 \[\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + - \tag{3.16}\cdots\] 이다. 거듭제곱급수의 성질에 의하여 이 등식은 \(-1 < x < 1\)인 모든 \(x\)에 대하여 성립한다.
이러한 방법은 로그함수의 도함수가 일차분수함수이고 일차분수함수를 거듭제곱급수로 쉽게 표현할 수 있기 때문에 가능한 것이다. 사인, 코사인, 지수함수의 경우에는 미분하거나 적분하였을 때 거듭제곱급수 표현이 알려진 간단한 함수로 나타낼 수 없기 때문에 이러한 방법을 사용할 수 없다.
한편 (3.16)이 성립함을 보이는 과정에서 \(x\)의 범위를 \(-1 < x < 1\)이라고 두었는데, 그것은 (3.15)가 \(-1 < x < 1\)에서만 수렴하기 때문이다. \(x = 1\)일 때 (3.16)이 성립함을 보이는 것은 이러한 방법으로 할 수 없다. \(x = 1\)일 때 (3.16)이 성립함을 보이는 것은 보기 8의 방법을 이용해야 한다. 하지만 아벨의 정리(Abel's theorem)를 이용하면 (3.16)이 성립하는 범위를 \(-1 < x \le 1\)로 쉽게 확장할 수 있다. 아벨의 정리는 다음과 같다.
정리 3. (아벨의 정리)
거듭제곱급수가 수렴하면 그 거듭제곱급수는 수렴구간 내에서 연속인 함수가 된다.
증명
Wikipedia: Abel's theorem을 참조하라. 읽어도 이해가 되지 않는다면 증명은 생략하고 정리만 사용해도 된다.
아벨의 정리를 이용하여 (3.16)이 \(x=1\)일 때에도 성립함을 증명해 보자. (3.16)의 우변의 거듭제곱급수를 \(T(x)\)라고 하자. 그러면 \(\ln(1+1) = T(1)\)임을 밝히면 된다. (3.16)의 우변의 거듭제곱급수가 \(-1 < x \le 1\)일 때 수렴하므로 아벨의 정리에 의하여 \(T(x)\)는 \(-1 < x \le 1\)인 범위에서 연속이다. 또한 \(\ln(1+x)\)도 \(-1 < x \le 1\)인 범위에서 연속이다. 그러므로 \[\ln(1+1) = \lim_{x\to 1^-} \ln (1+x) = \lim_{x\to 1^-} T(x) = T(1)\] 이다. 따라서 (3.16)은 \(x=1\)일 때에도 성립한다.
오차 추정
테일러의 정리는 \(f\)의 테일러 다항식 \(P_n\)이 \(f\)에 얼마나 가까운지, 그 오차는 얼마나 되는지 추정할 때 사용할 수 있다. 또한 기준 오차가 주어졌을 때, 오차가 기준 오차를 넘지 않도록 하는 \(x\)의 범위를 구하는 데에도 테일러의 정리를 사용할 수 있다.
보기 9. (테일러 정리의 활용)
\(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)를 3차 다항식 \(x - \left( x^3 / 3! \right)\)으로 대체하려고 한다. 오차가 \(3\times 10^{-4}\)을 넘지 않게 유지하려고 한다면 \(x\)는 어느 범위에 있어야 하는지 구하시오.
풀이. \(f(x) = \sin x\)라고 하면 테일러의 정리에 의하여 \(x\ne 0\)일 때 \[\left\lvert \sin x - \left(x - \frac{x^3}{3!} \right) \right\rvert = \left\lvert \frac{f^{(4)}(c)}{4!} x^4 \right\rvert \tag{4.1}\] 인 점 \(c\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(\left\lvert f^{(4)}(c) \right\rvert \le 1\)이므로 \[\left\lvert \frac{f^{(4)}(c)}{4!} x^4 \right\rvert \le \frac{\lvert x \rvert^4}{4!} \tag{4.2} \] 이다. 이 값이 \(3 \times 10^{-4}\)을 넘지 않아야 한다. 즉 부등식 \[\frac{\lvert x \rvert^4}{4!} \le \frac{3}{10000}\] 을 만족시키는 \(x\)를 구해야 한다. 이 부등식을 풀면 \[\lvert x \rvert \le \frac{\sqrt[4]{72}}{10} \approx 0.291\tag{4.3}\] 을 얻는다.
테일러의 정리는 \(f\)의 테일러 급수가 \(f\)에 수렴한다는 사실을 알고 있지 않을 때 사용할 수 있다. 그런데 우리는 사인 함수의 테일러 급수가 사인 함수에 수렴한다는 사실을 알고 있다. 더욱이 \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + - \cdots \tag{4.4}\] 이므로 \(x\ne 0\)일 때 (4.4)의 우변은 교대급수가 된다. 따라서 사인 함수의 테일러 다항식의 오차를 구할 때에는 교대 급수의 오차 추정 공식을 이용할 수 있다. 교대 급수 오차 추정 공식을 이용하여 보기 9를 풀어보자. \[\left\lvert \sin x - \left(x - \frac{x^3}{3!} \right) \right\rvert \le \left\lvert \frac{x^5}{5!} \right\rvert \tag{4.5}\] 이므로 \[\left\lvert \frac{x^5}{5!} \right\rvert \le \frac{3}{10000}\] 을 만족시키는 \(x\)를 구해야 한다. 이 부등식을 풀면 \[\lvert x \rvert \le \sqrt[5]{0.036} \approx 0.514\tag{4.6}\] 를 얻는다. 이 범위는 (4.3)에서 얻은 범위보다 더 넓다. 즉 동일한 조건 아래에서 사용할 수 있는 \(x\)의 범위가 더 넓다. 따라서 (4.6)이 (4.3)보다 더 좋은 결과이다.
(4.3)보다 (4.6)에서 더 좋은 결과를 얻은 이유는 두 가지이다. 첫째, 사인 함수의 테일러 급수가 사인 함수에 수렴한다는 사실을 알고 있다. 둘째, 사인 함수의 테일러 급수가 교대급수이다. 즉 더 많은 정보를 가지고 시작할수록 더 좋은 결과를 얻을 수 있다.
이것은 오지 탐험에 비유할 수 있다. 오지를 탐험하면서 안전지역(\(x\)의 범위)을 설정한다고 생각해보자. 어떠한 지점의 정보를 충분히 갖고 있지 않으면 그 지점의 안정성을 보장할 수 없으므로 그 지점은 안전지역에 포함되지 않는다. 반면 어떠한 지점의 정보를 충분히 갖고 있다면 그 지점을 안전지역에 포함시킬 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 즉 어떠한 지점의 정보를 더 많이 가지고 있을수록 그 지점은 안전지역에 포함될 가능성이 커진다. 요컨대 해당 지역에 대한 정보를 더 많이 가지고 있을수록 안전하다고 확신할 수 있는 지역의 범위는 더 넓어진다. (4.3)에서 \(x\)의 범위를 구할 때보다 (4.6)에서 \(x\)의 범위를 구할 때 가지고 있는 정보가 더 많았다(사인 함수의 테일러 급수의 수렴성, 교대급수의 성질). 이것이 바로 (4.6)의 범위가 (4.3)의 범위보다 더 넓은 이유이다.
테일러 급수로 나타낼 수 없는 함수의 예
지금까지의 내용만 보면 함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 열린 구간에서 임의 횟수로 미분 가능할 때 \(a\)에서 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 당연히 \(f\)로 수렴할 것처럼 보인다. 하지만 그렇지 않은 함수가 존재한다. 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \[f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & \quad\quad \text{if} \quad x \ne 0 \\[6pt] 0 & \quad\quad \text{if} \quad x = 0 \end{cases}\] 이 함수가 모든 실수 \(x\)에 대하여 미분 가능하고, 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f^{(n)} (0) = 0\)임을 보이자. 먼저 \(x\ne 0\)인 경우를 살펴보자. 우선 \(f\)의 도함수는 \[f ' (x) = \frac{2}{x^3} e^{-1/x^2}\tag{5.1}\] 이다. 다음으로 \(k\)가 자연수이고 두 다항식 \(P_k (x)\)와 \(Q_k(x)\)가 존재하여 \[f ^{(k)} (x) = \frac{P_k (x)}{Q_k (x)} e^{-1/x^2}\tag{5.2}\] 이라고 가정하자. (5.2)를 미분하면 \[\begin{align} f^{(k+1)} (x) &= \frac{P_k ' (x) Q_k (x) - P_k (x) Q_k ' (x)}{\left\{ Q_k (x) \right\}^2} e^{-1/x^2} + \frac{2 P_k (x)}{Q_k (x) x^3} e^{-1/x^2} \\[3pt] &= \frac{\left\{P_k ' (x) Q_k (x) - P_k (x) Q_k ' (x)\right\} x^3 + 2 P_k (x) Q_k (x)}{x^3 \left\{ Q_k (x) \right\}^2} e^{-1/x^2} \end{align}\] 이다. \[\begin{align} P_{k+1} (x) &= \left\{P_k ' (x) Q_k (x) - P_k (x) Q_k ' (x)\right\} x^3 + 2 P_k (x) Q_k (x) \\[6pt] Q_{k+1} (x) &= x^3 \left\{ Q_k (x) \right\}^2 \tag{5.3} \end{align}\] 이라고 하면 \[f^{(k+1)} (x) = \frac{P_{k+1} (x)}{Q_{k+1} (x)} e^{-1/x^2}\] 이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 두 다항식 \(P_n (x)\)와 \(Q_n (x)\)가 존재하여 \[f^{(n)} (x) = \frac{P_{n} (x)}{Q_{n} (x)} e^{-1/x^2}\tag{5.4}\] 이다. 특히 (5.1), (5.2), (5.3)을 보면 \[Q_n (x) = x^{3\times 2^n - 3}\tag{5.5}\] 임을 알 수 있다.
이제 \(0\)에서 \(f\)의 \(n\)계 미분계수를 구해보자. 우선 \[f ' (0) = \lim_{h\to 0} \frac{e^{-1/h^2}}{h} = 0\] 이다. 다음으로 \(k\)가 자연수이고 \(f^{(k)} (0) = 0\)이라고 가정하자. (5.5)를 이용하면 \[\begin{align} f^{(k+1)}(0) &= \lim_{h\to 0} \frac{f^{(k)} (h) - f^{(k)} (0)}{h} \\[3pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{ P_k (h) e^{-1/h^2}}{hQ_k (h)} \\[3pt] &= P_k (0) \lim_{t\to \infty} \frac{\pm t}{Q_k (1/t) e^{t^2}} \\[3pt] &= P_k (0) \lim_{t\to \infty} \frac{\pm t \cdot t^{3\times 2^k -3}}{e^{t^2}} \\[3pt] &= P_k (0) \times 0 = 0 \end{align}\] 이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[f^{(n)}(0) = 0\tag{5.6}\] 이다.
\(f(0) = 0\)이라는 사실과 (5.6)을 이용하여 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수의 상수항과 계수를 구하면 \[a_0 = a_1 = a_2 = \cdots = 0\] 이다. 그러므로 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \[T(x) = 0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 + \cdots = 0\] 이다. 그러나 \(x \ne 0\)일 때 \(f(x) \ne 0\)이므로, \(x\ne 0\)일 때 \[f(x) \ne T(x)\] 이다. 즉 \(f\)가 임의 횟수로 미분 가능하므로 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 존재하지만, 그 테일러 급수가 \(f\)를 대체할 수 없다.
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