이 글은 벡터공간의 차원이, 그 벡터공간의 기저의 기수(cardinal number)로서 잘 정의됨을 살펴보는 글이다. 유한집합으로 생성되는 벡터공간의 차원이 잘 정의된다는 것은 보통의 선형대수학 교재에 아주 잘 소개되어 있으므로 여기서는 생략하고, 이 글에서는 유한집합으로 생성되지 않는 벡터공간, 즉 무한차원벡터공간의 차원이 잘 정의되는 것을 살펴본다. 이 글은 참고문헌 [1]의 제9장 2절의 내용을 바탕으로 작성하였다. Invariance of Dimensionality 체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간 \(V\)가 주어졌을 때, (선택공리를 가정했을 때) …
이 글에서는 포함-배제의 원리를 일반적이고 명확하게 기술해보고 포함-배제 원리의 산뜻한 증명을 시도해 본다. 이 글에서 소개한 산뜻한 증명은 참고문헌 [1]을 바탕으로 작성한 것이다. 포함-배제의 원리를 산뜻하게 기술하기 학교수학에서는 포함-배제의 원리를 다음과 같이 소개하곤 한다. 포함-배제의 원리(중,고등학교 버전) 유한개의 원소를 갖는 집합 \(A, B\)에 대하여 \[ \vert A\cup B\vert=\vert A\vert +\vert B\vert – \vert A\cap B\vert\] 가 성립한다. 또한 유한개의 원소를 갖는 집합 \(A, B, …
이 글은 현재는 절판된 Serge Lang의 선형대수 교재 제2판([1], VII, §6)의 내용을 토대로 쓴 것이다. 퍼가지 마시라. 이 글에서는 행렬식을 한 도형의 체적으로 이해하는 이야기를 소개한다. 먼저 2-차원의 경우를 논할텐데, ‘체적(volume)’이라는 용어를 2-차원 도형의 넓이를 일컬을 때에도 그냥 사용하고자 한다. 또한 ‘\(\operatorname{Vol}\)’와 같은 기호를 이용하여 넓이를 나타내기도 할 것이다. 물론 이 기호를 일반적인 고차원 도형의 체적을 나타내는 기호로도 쓸 것이다. 먼저 두 벡터 \(v, …
가우스의 보조정리에 관한 질문이 Share Your Math에 있어서 이에 대해 소개하고자 합니다. ‘가우스의 정리’라고 말하면 그 종류가 너무 많아서 무엇을 일컫는지 혼동의 여지가 있습니다. 지금 살펴보고자 하는 가우스의 보조정리는, 물론, 질문과 관련있는 다항식의 인수분해와 관련된 정리입니다. 달빛학사 Share Your Math 게시판에 올라온 질문의 요지는 정수계수 다항식이 (차수가 더 낮은) 유리계수 다항식 두 개로 인수분해될 필요충분조건이 그 다항식이 (차수가 더 낮은) 정수계수 다항식 두 개로 …
제3장 문자와 식 3.1 다항식 다항식의 구조 문자 또는 수들의 곱으로 이루어진 식을 항이라 하고, 항 또는 항들의 합으로 이루어진 식을 다항식(polynomial)이라고 한다. 예를 들어 \[ \pi,\quad x,\quad 3z+1,\quad -x+2x^{2020}+2, \quad -xy^{2}+x^{2}+a^{4}y^{2}+x \] 는 모두 다항식이다. 다항식은 동류항끼리 모아서 정리하여 간단히 나타낸다. 그리고 차수가 높은 항부터 순서대로 나열하는 내림차순 혹은 차수가 낮은 항부터 순서대로 나열하는 오름차순으로 정리하면 보기 좋다. 예를 들어 다항식 \(-x+2x^{2020}+2\)를 내림차순과 …
연역적 추론 두 조건 \(p, q\)에 대하여, 문장 ‘\(p\longrightarrow q\)’는 하나의 명제가 된다. 일반적으로 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P, Q\)라 할 때, \(p\longrightarrow q\)가 참이면 조건 \(p\)를 참이되게 하는 원소는 조건 \(q\)도 참이 되게 하므로 \(P\subset Q\)인 관계가 성립한다. 또한 \(P\subset Q\)인 관계가 있으면 명제 \(p\longrightarrow q\)는 참이다. 한편, 명제 \(p\longrightarrow q\)가 거짓이라는 것은 조건 \(p\)가 참이 되지만 \(q\)는 참이 되지 않는 원소가 …
제1장 집합과 논리의 기초 ”철학은 우주라는 드넓은 책에 쓰여있다. … 그것은 수학의 언어로 쓰였으며 그것의 문자는 삼각형, 동그라미 그리고 다른 기하학적 수치들이다.” -갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei; 1564–1642)- 19세기 말 수학자 칸토르(Cantor, G.; 1845–1918)는 무한집합에 관한 이론을 처음으로 발표하였다. 수학의 긴 역사를 생각해볼 때 ‘집합’이라는 개념을 구체적으로 다룬 것은 비교적 최근의 일이라 할 수 있다. 오늘날에는 모든 수학적 대상을 집합을 이용하여 정의한다고 해도 과언이 아니다. 즉 …